1. 首页
  2. 钛业百科

重心性质 重心的性质及证明

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。(等边三角形)重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

证明:点P是△ABC内的一点,连接PA,PB,PC,作点P到BC、AC、AB的垂线段,垂足分别为D、E、F,延长AP交BC于M。记△ABC的面积为S,BC为a,AC为b,AB为c,PD为a',PE为b',PF为c'。

∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S

∴aa'+bb'+cc'=2S

由均值不等式知,[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)*(a'b'c'),当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。

∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(S/3)^3/(abc)=8S^3/(27abc),当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。

∴a'b'c'只有当aa'=bb'=cc'时才会取得最大值。

此时,S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP,由燕尾定理知,BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。

∴此时BM=CM,M是BC的中点,AM是△ABC的中线,P在△ABC中BC边的中线上。

同理可证此时P在△ABC中AB、AC边的中线上。

∴当a'b'c'最大时,P是△ABC的重心,即重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

原创文章,作者:瑞普钛业,如若转载,请注明出处:https://www.chinatitaniummetal.com/taiyebaike/19621.html